3. Determinant
오랜만에 선형대수 정리를 다시 시작한다. 오늘은 판별식(Determinant)에 대해 알아보자. 판별식은 고유값(eigenvalue)을 구하기 위해 필요한 식 중 하나다. 유명한 Gilbert Strang 선생님의 MIT 강의를 나만의 말로 정리해 보았다.
판별식의 성질
1) det I = 1
2) 두 행을 바꾼 행렬의 판별식은 부호가 반대다.
3a) 한 행에 t를 곱하면 전체에 본래 판별식에 t를 곱한 것과 같다.
3b) 한 행에만 임의 값을 더해주면 본래 판별식에 더해주는 값을 분리한 행렬(나머지 행의 값은 동일)의 판별식의 합과 같다.
Determinant is Linear Each Row
4) 두 행의 값이 같으면 => 판별식은 0이다.(2로부터 유도)
5) 한 행을 곱해서 다른 행에서 빼도 판별식이 달라지지 않는다.(3b, 3a, 4로부터 유도)
6) 한 행의 원소가 모두 0이라면 판별식도 0이다.(3a 또는 3b로 유도)
7) 삼각행렬의 판별식은 대각선에 위치한 원소들의 곱이다. (소프트웨어에서 판별식을 구하는 방식 -> 삼각행렬도 만들어서 대각선 곱한다. 3a를 이용해서 행마다 factor out하면 대각선 곱과 1이 남는다.)
8) 행렬의 역행렬이 존재하지 않으면 판별식은 0이다.
9) det AB = (det A) * (det B)
10) => 열이 다 0이어도 판별식은 0이다를 보일 수 있다. (증명은 보임으로써 할 수 있다.)
판별식 공식
Cofactor를 이용한 역행렬 구하기
