선형대수 공부 3일차 - 행렬에 대해 알아보자

2.1 Matrix Operations

Theorem 1

덧셈, 뺄셈, scalar multiple은 교환, 결합, 분배 법칙이 성립한다.

행렬의 곱셈은 조금 다른데, linear transformation, function으로 이해할 수 있다.
따라서 곱할 수록 span을 작아진다. 즉, span(A)가 span(AB)를 포함한다.

Theorem 2

곱셈은 결합법칙, 오른쪽/왼쪽 분배 법칙이 성립하나 교환법칙은 성립하지 않는다. 즉, AB와 BA는 같지 않을 수 있다.

• Powers of a Matrix
  A가 $nXn$ 행렬이라면 $A^n$과 같이 행렬의 거듭제곱을 정의할 수 있다. $A^0 = I$로 정의한다.
• Transpose
  행렬의 열과 행을 뒤바꾼 것이라 보면 된다.

a. $(A^T)^T = A$
b. $(A + B)^T = A^T + B^T$
c. For any scalar $r, (rA)^T = rA^T$
d. $(AB)^T = B^TA^T$

2.2 The Inverse of a Matrix

Theorem 4

2X2 행렬의 역행렬 공식

Theorem 5

Ax = b이고 A가 역행렬이 존재하면 하나의 유일해 $x=A^{-1}b$를 지닌다.

참고) at least 1 solution $<=>$ no free variable

Theorem 6

a. $(A^{-1})^{-1} = A$
b. $(AB)^{-1} = B^{-1}A{-1}$
c. $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$

Theorem 7

nXn 행렬이 $I_n$과 row equivalent, 즉 echelon row reduction을 통해 $I$로 만들 수 있다면 역행렬이 존재한다.
$[A|I]$ -> $[I|C]$로 row reduction을 거치면 C가 역행렬이다.

2.3 Characterizations of Invertible Matrices

Theorem 8

위와 같은 조건을 하나만 만족해도 역행렬이 존재하고 하나만 위배해도 역행렬이 존재하지 않는다. 마치 고리와 같이 상호 연결되어 있고 증명과정도 하나 하나 연결하면서 확인할 수 있다.