오늘 선형대수 공부를 시작했다. 자료는 고려대에 계시다가 현재는 KAIST AI 대학원으로 가신 주재걸 교수님의 강의와 수업에 사용한 교과서를 참고했다. 간단히 오늘 배운 내용을 정리해보자.

오늘은 간단한 개요 정도였다. 요즘 교육과정에서는 행렬이 빠졌다고 하는데 구7차 교육과정에서 처음으로 등장하는 것이 행렬이었던 것 같다. 그러면 섹션별로 간단한 개념만 짚고 넘어가자.

1.1 Systems of Linear Equations

1) linear equation의 정의
=> 이러한 linear equation(s)의 집합을 systems of linear equations 라 한다.
2) consistent - 하나 이상의 해가 존재하는 경우 / 그 반대로 해가 없는 경우는 inconsistent
3) 선형방정식을 행렬로 나타낼 수 있다. (coefficient matrix, augmented matrix)
4) linear system을 푸는 가장 기본적인 방법은 triangular form으로 만들어 주는 것이다. 이때 아래의 3가지 기본 row operation을 사용한다.
=> Replacement, Interchange, Scaling
세가지 row operation을 통해 만들 수 있는 행렬들은 row equivalent하다고 표현한다.

1.2 Row Reduction and Echelon Forms

위와 같은 모양을 지닌 행렬의 형태를 echelon form 이라고 한다.
여기서 각 행의 맨 앞의 0이 아닌 수를 leading entry라고 한다. (여기서는 1, 2, 1)

위와 같이 leading entry가 1이고 leading entry 밑뿐만 아니라 위의 원소들도 0이면 reduced echelon form이라고 부른다.

Theorem 1: Uniqueness of the Reduced Echelon Form

우선, 모든 행렬은 (reduced) echelon form으로 변환할 수 있다.

• Echelon form인 행렬의 leading entry를 pivot position이라고 한다.
  각 행에 pivot position이 존재하느냐의 여부에 따라이 해당 열이 basic variable인지 free variable인지 결정된다.

Theorem 2: Existence and Uniqueness Theorem

Echelon form의 행렬에서 [0, …, b] 꼴로 나오는 행(b는 0이 아닌 실수)이 존재하면 해가 없다.

1.3 Vector Equations

교환 법칙, 결합 법칙 등이 성립한다.
span의 개념을 확인하자 - set of all possible linear combinations
등장개념 영상

1.4 The Matrix Equation Ax = b

공부를 하면서 최근에 본 물리학자인 파인만의 영상이 떠올랐다. 선형대수도 직관이 더해지면 더 오래 기억하고 의미있게 활용할 수 있을 것이다. 단순히 해를 구하는 것은 컴퓨터가 더 잘하니 숨겨진 의의를 찾는데 집중하면 좋을 것 같다.