/ LINEAR-ALGEBRA, MATH

1. Linear Equations in Linear Algebra (2)

선형대수 공부 2일차 - 오늘 배운 내용을 간단히 정리해보자

1.5 Solution Sets of Linear Systems

  • homogeneous: A linear equation is called homogeneous if its constant term is zero. Such an equation has the form

$$a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = 0$$

where are constants and are variables. A homogeneous linear system is a linear system whose equations are all homogeneous. For example,

$$3x_1 − 9x_2 − 9x_3 − 6x_4 = 0$$ $$2x_1 − 8x_2 − 6x_3 + 2x_4 = 0$$ $$−2x_1 + 3x_2 + 8x_3 + 7x_4 = 0$$

is a homogeneous linear system.[1]

즉, 행렬을 사용해서 Ax = 0 꼴로 쓸 수 있으면 최소 하나의 해를 x가 영벡터인 최소 하나의 해를 가지며 이를 trivial solution이라 한다.
non-trivial한 해를 갖기 위해서는 방정식이 최소 하나의 free variable을 가져야한다.

1.6 Applications of Linear Systems

경제, network flow 등 다양하게 활용이 가능하다.

1.7 Linear Independence

선형 독립이라는 말이 나오며 앞서 본 방정식이 trivial solution을 가질 때 독립이라 한다. 벡터의 해가 되는 계수들이 모두 0이어야 하며 그렇지 않은 경우가 하나라도 있으면 linearly dependent하다.

Theorem 7: Characterization of Linearly Dependent Sets

집합 S에 속한 벡터들 중 하나라도 다른 벡터의 선형 결합으로 표현할 수 있다면 linearly dependent하다.
벡터를 하나씩 추가해 가면서 linearly dependent한지 여부를 확인할 수 있다.
추가된 벡터를 앞선 벡터들의 linear combination으로 표현할 수 있는지 확인하면 된다.

Theorem 8

If a set contains more vectors than there are entries in each vector, then the set is linearly dependent. That is, any set in is linearly dependent if p > n. 즉 행렬의 열의 개수가 행의 개수보다 많다면 linearly dependent하다고 할 수 있다.
그 반대 p < n인 경우는 상황에 따라 다르기 때문에 일반화할 수 없다.

Theorem 9

If a set S D in contains the zero vector, then the set is linearly dependent.
Zero vector가 존재하면 linearly dependent하다.

1.8 Introduction to Linear Transformations

  • transformation은 function, mapping과 같은 말이다. 인 linear transformation에 대하여
  • domain(정의역) -
  • codomain(공역) -
  • range(치역) / image - T(x)

로 정의한다.

  • Linear Transformation은 아래 두 조건을 만족해야 한다.
    i. T(u+v) = T(u) + T(v)
    ii. T(cu) = cT(u) for all scalars c
    위 조건으로부터 T(0) = 0이 유도된다.

오늘 정리로 챕터1을 마쳤다. 중간고사도 여기까지가 범위인 것 같다. 이틀만에 중간고사 범위까지 공부해서 기분이 좋다(?).

[1] 출처: http://faculty.bard.edu/~belk/math213f15/Notes10.pdf